Властивості довільного читирикутника

Квадрат, розбитий на попарно нерівні квадрати, називається здійсненим.

Порядком квадрата, розбитого на складені квадрати, називається число складових його квадратів.

Розбиття квадрата, ніяка підмножина квадратів якого не утворює прямокутника (не рахуючи окремих квадратів), називається простим.

Розбиття квадрата на 21 квадрат, серед яких немає рівних. Цифра усередині кожного квадрата означає довжину його сторони. Відповідно, довжина сторони великого квадрата рівна (складаючи довжини сторін крайніх квадратів) 50 + 35 + 27 = 50 + 29 + 33 = 33 + 37 + 42 = 27 + 19 + 24 + 42 = 112

     

Квадрування квадрата — завдання про розбиття квадрата на кінцеве число менших квадратів. У вужчому сенсі — завдання про розбиття квадрата на кінцеве число попарно нерівних між собою квадратів.

Довгий час вважалося, що це надзвичайно важке математичне завдання нерозв'язне. У — роках її вирішили чотири студенти Трініті-коледжу Кембріджського університету Р.  Л.  Брукс (R. L. Brooks), До.  А.  Б.  Сміт (C. A. B. Smith), А.  Р.  Стоун (A. H. Stone) і У.  Т.  Татт (W. T. Tutte).

Коротка історія

Найперші знайдені Бруксом, Смітом, Стоуном і Таттом довершені квадрати були 69-го порядку. У 1939 році Р.  Шпраг (R. Sprague) знайшов довершений квадрат 55-го порядку, це був перший опублікований довершений квадрат. Пізніше за Т.  Р.  Уїллкокс (T. H. Willcocks) знайшов довершений квадрат 24-го порядку, який довгий час тримав рекорд трохи порядку.

Нарешті, в 1978 році голландський математик А.  Й.  У.  Дуйвестейн (A. J. W. Duijvestijn) за допомогою комп'ютера знайшов розбиття квадрата на 21 квадрат, серед яких немає рівних. Він довів, що не існує довершеного квадрата меншого порядку, а також показав, що знайдене ним розбиття — єдино можливе для 21-го порядку.

Кубирование куба

«Кубирование куба», то есть разбиение куба на конечное число попарно неравных между собой кубов невозможно. Доказательство этого факта было дано Бруксом, Смитом, Стоуном и Таттом.

Доказательство.

Допустим, что искомое разбиение куба существует. Рассмотрим одну из граней куба, очевидно, не уменьшая общность, можно выбрать нижнюю грань. На нижней грани стоят разновеликие кубы, своими нижними рёбрами разбивающие грань на разновеликие квадраты. Найдём самый маленький квадрат разбиения нижней грани. Очевидно, что этот квадрат не может примыкать к ребру куба, будучи ограничен сторонами бо́льших квадратов, следовательно, он должен располагаться где-то внутри грани. Теперь рассмотрим верхнюю грань этого малого кубика. Поскольку по предположению это самый маленький кубик на нижней грани куба, он окружен более высокими кубами. Поэтому на его верхнюю грань не заступает ни один соседний куб. Следовательно, стоящие на этой грани кубики меньшего размера снова разбивают верхнюю грань этого кубика на разновеликие квадраты, причём самый малый квадрат разбиения верхней грани рассматриваемого кубика снова не может принадлежать ребру кубика и находится внутри грани. Продолжая этот процесс рассуждения, приходим к противоречию, что доказывает теорему.

Также легко доказывается теорема о невозможности «гиперкубирование гиперкуба» для гиперкубов любой размерности, большей 3-х. Действительно, для любой размерности n гиперкубы разбиения, прилегающие к какой-либо (n − 1)-мерной гиперграни исходного гиперкуба, должны разбивать эту гипергрань на конечное число попарно неравных (n − 1)-мерных гиперкубов. При n = 4 «гиперкубирование» невозможно, так как должно порождать «кубирование» 3-мерных гиперграней исходного 4-мерного гиперкуба. Индукцией по n можно сделать заключение о невозможности «гиперкубирования» для всех n > 3.

Гипотеза Ходжа сформулирована в 1941 году и состоит в том, что для особенно хороших типов пространств, называемых   проективными алгебраическими многообразиями, так называемые циклы Ходжа являются комбинациями объектов, имеющих геометрическую интерпретацию, — алгебраических циклов.^[1]

В XX веке математики изобрели мощные методы исследования формы сложных объектов. Основная идея состоит в том, чтобы выяснить, до какой степени мы можем аппроксимировать форму данного объекта, склеивая вместе простые тела возрастающей размерности. Этот метод оказался эффективным при описании разнообразных объектов, встречающихся в математике. При этом были не ясны геометрические обоснования метода: в некоторых случаях было необходимо прибавлять части, которые не имели никакого геометрического истолкования.

Доказать гипотезу Ходжа удалось для некоторых частных случаев. Более общее доказательство пока не найдено, не найдено и доказательство обратного — что гипотеза неверна.

1.       Чи існує паралелограм, у якого сума двох протилежних кутів  рівна різниці двох сусідніх кутів? Обгрунтуйте свою відповідь.  

Відповідь: Так існує, наприклад паралелограм з кутами: 135⁰, 45⁰, 135⁰, 45⁰. Можливо два випадки: або 2b = b - a ,  або 2b = a -  b.  У першому випадку   отримаємо, b =  - a , що неможливо для додатніх чисел, а у другому випадку отримаємо 3b =   a,  тоді  сума сусідніх кутів паралелограма b + a = 3b + b = 180⁰,  звідки b= 45⁰, a = 135⁰.

2.       У чотирикутника  ABCD протилежні кути рівні: ÐА = ÐС = a,  ÐВ = ÐD = b.  Чи вірно, що у цього чотирикутника сума  будь-яких двох протилежних кутів рівна 180⁰?

Відповідь: Так вірно. Адже ÐА + ÐС = 2a,  ÐВ +ÐD = 2b.  ÐА + ÐС +  ÐВ +ÐD = 2b + 2a = 360⁰.Поділивши на два обидві частини рівності, отримаємо b + a = 180⁰.

3.       У чотирикутника  ABCD протилежні сторони рівні: АВ = СD ,  CВ = AD.  Чи вірно, що у такого чотирикутника сума  будь-яких двох cусідніх кутів рівна 180⁰?

Відповідь: Так вірно. Проведемо діагональ  АС.Тоді  DАВС = DСВА за трьома рівними сторонами.  Отже у цих трикутніків рівні відповідні кути.  А при січній АС маємо рівні різносторонні внутрішні кути, тому АВ½½CD,  CВ½½AD,  отже,  за ознакою паралельності ÐА + ÐD = ÐВ +ÐC= ÐА + ÐB = ÐC +ÐD = 180⁰.

4.       Чи існує паралелограм, у якого сума двох протилежних кутів  у півтори рази менша  різниці двох сусідніх кутів? Обгрунтуйте свою відповідь.

Відповідь: Так існує, наприклад паралелограм з кутами: 144⁰, 36⁰, 144⁰, 36⁰.  Можливо два випадки: або 1,5(2b) = b - a ,  або 1,5(2b) = a -  b.  У першому випадку   отримаємо, 2b =  - a , що неможливо для додатніх чисел, а у другому випадку отримаємо 4b =   a,  тоді  сума сусідніх кутів паралелограма b + a = 4b + b = 180⁰,  звідки b= 36⁰, a = 144⁰.

5.       Чи вірно, що кут між висотами паралелограма, що проведені з вершини тупого кута, дорівнює одному з кутів паралелограма? Відповідь свою  обгрунтуйте.

Відповідь: Так вірно.

6.       Чи вірно, що висота паралелограма, що проведена  з вершини тупого кута, дорівнює одній із діагоналей  паралелограма? Відповідь свою обгрунтуйте.

Відповідь: Так вірно, проте не завжди. Наприклад складіть паралелограм з двох рівних рівнобедрених прямокутних трикутників.

7.       Чи вірно, що висота паралелограма, що проведена  з вершини тупого кута, дорівнює одній із сторін паралелограма? Відповідь свою обгрунтуйте.

Відповідь: Так вірно, проте не завжди. Наприклад, це виконується, якщо  скласти  паралелограм з двох рівних рівнобедрених прямокутних трикутників.

8.       Чи вірно, що бісектириса паралелограма, що проведена  з вершини тупого кута, дорівнює одній із сторін паралелограма? Відповідь свою обгрунтуйте.

Відповідь: Так вірно, проте не завжди. Наприклад, це виконується, якщо  скласти  паралелограм з двох рівних рівносторонніх трикутників.

9.       Чи вірно, що бісектириса паралелограма, що проведена  з вершини тупого кута, перетинає більшу сторону паралелограма? Відповідь свою обгрунтуйте.

Відповідь: Так вірно, проте незавжди, у ромба( або квадрата) вона претинає обидві сторони у вершині ромба.

10.   Чи вірно, що діагоналі паралелограма утворюють кути,  які дорівнюють  кутам паралелограма? Відповідь свою обгрунтуйте.

Відповідь: Так вірно, проте незавжди, наприклад,  у квадрата дві діагоналі претинаються під прямим кутом.

11.   Чи вірно, що дві бісектириси паралелограма, що проведена  з вершин  тупого і гострого  кута,  перпендикулярні і мають точку перетину  тільки на стороні паралелограма? Відповідь свою обгрунтуйте.

Відповідь: Так вірно, проте незавжди, наприклад,  у ромба( або квадрата) бісектриси претинаються всередині ромба.

12.   Чи вірно, що існує безліч різних паралелограмів, у яких рівні сторони, проте не рівні кути.

Відповідь: Так вірно.