Теорема Птолемея


Клавдій Птолемей жив в кінці першого - початку другого століття н.е., був давньогрецьким вченим-астрономом, математиком, астрономом, географом, оптиком і теоретиком музики. Він відомий як коментатор Евкліда. Птолемей намагався довести знаменитий П'ятий постулат. Основна праця Птолемея - "Альмагест", в якому він виклав відомості з астрономії. Включав "Альмагест" і каталог зоряного неба.

Теорема Птолемея. Навколо опуклого чотирикутника можна описати коло тоді і тільки тоді, коли твір його діагоналей дорівнює сумі творів його протилежних сторін.

ФігуриРисунокВластивість
 Коло і паралелограмЧетырехугольники вписанные в окружность свойства теорема ПтолемеяКоло можна описати навколо паралелограма, якщо у нього усі кути прямі.
Коло і ромбЧетырехугольники вписанные в окружность свойства теорема ПтолемеяКоло можна описати навколо ромба, якщо у нього усі кути прямі.
Коло і трапеціяЧетырехугольники вписанные в окружность свойства теорема Птолемеяколо можна описати тільки навколо рівнобічної трапеції і навпаки якщо трапеція вписана, то вона рівнобічна.
Коло і дельтоїдЧетырехугольники вписанные в окружность свойства теорема ПтолемеяОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Довільний
вписаний
 4-кутник
Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема ПтолемеяПлоща довільного 
вписаного
 4-кутника можно знайти по формулі Брахмагупти:
Площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты

де a, b, c, d  –  довжини сторін 4-кутника,
а p  – півпериметр, т.е.
Площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты

Теорема Птолемея

      Теорема Птолемея. Добуток діагоналей вписанного 4-кутника дорівнює сумі добутків протилежних сторін.
      Доказательство. Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность (рис.3).
Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема Птолемея
Рис.3
      Докажем, что справедливо равенство:
Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема Птолемея
      Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD  был равен углу CBE (рис. 4).
Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема Птолемея
Рис.4
      Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE. Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E), угол ADB  равен углуACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно,справедлива пропорция:
Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема Птолемея
откуда вытекает равенство:
Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема Птолемея(1)
      Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD. Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:
Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема Птолемея
откуда вытекает равенство:
Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема Птолемея(2)
      Складывая равенства (1) и (2), получаем:
Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема Птолемея
      Теорема Птолемея доказана.

Немає коментарів:

Дописати коментар

Інтерес до вивчення чотирикутника виник у людства з давніх часів і не згасає досі. Це пов’язано не тільки з його красою, але і з великою пр...