Клавдій Птолемей жив в кінці першого -
початку другого століття н.е., був давньогрецьким вченим-астрономом,
математиком, астрономом, географом, оптиком і теоретиком музики. Він відомий як
коментатор Евкліда. Птолемей намагався довести знаменитий П'ятий постулат.
Основна праця Птолемея - "Альмагест", в якому він виклав відомості з
астрономії. Включав "Альмагест" і каталог зоряного неба.
Теорема Птолемея. Навколо опуклого
чотирикутника можна описати коло тоді і тільки тоді, коли твір його діагоналей
дорівнює сумі творів його протилежних сторін.
Фігури | Рисунок | Властивість |
Коло і паралелограм | ![]() | Коло можна описати навколо паралелограма, якщо у нього усі кути прямі. |
Коло і ромб | ![]() | Коло можна описати навколо ромба, якщо у нього усі кути прямі. |
Коло і трапеція | ![]() | коло можна описати тільки навколо рівнобічної трапеції і навпаки якщо трапеція вписана, то вона рівнобічна. |
Коло і дельтоїд | ![]() | Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников. |
Довільний вписаний 4-кутник | ![]() | Площа довільного
вписаного
4-кутника можно знайти по формулі Брахмагупти:![]() де a, b, c, d – довжини сторін 4-кутника, а p – півпериметр, т.е. ![]() |
Теорема Птолемея
Теорема Птолемея. Добуток діагоналей вписанного 4-кутника дорівнює сумі добутків протилежних сторін.
Доказательство. Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность (рис.3).

Рис.3
Докажем, что справедливо равенство:

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Рис.4
Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE. Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E), угол ADB равен углуACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно,справедлива пропорция:

откуда вытекает равенство:
![]() | (1) |
Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD. Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

откуда вытекает равенство:
![]() | (2) |
Складывая равенства (1) и (2), получаем:

Теорема Птолемея доказана.
Немає коментарів:
Дописати коментар