Дослідження особливостей геометрії деяких видів чотирикутників: Теорема Птолемея

Клавдій Птолемей жив в кінці першого - початку другого століття н.е., був давньогрецьким вченим-астрономом, математиком, астрономом, географом, оптиком і теоретиком музики. Він відомий як коментатор Евкліда. Птолемей намагався довести знаменитий П'ятий постулат. Основна праця Птолемея - "Альмагест", в якому він виклав відомості з астрономії. Включав "Альмагест" і каталог зоряного неба.

Теорема Птолемея. Навколо опуклого чотирикутника можна описати коло тоді і тільки тоді, коли твір його діагоналей дорівнює сумі творів його протилежних сторін.

Фігури	Рисунок	Властивість
Коло і паралелограм		Коло можна описати навколо паралелограма, якщо у нього усі кути прямі.
Коло і ромб		Коло можна описати навколо ромба, якщо у нього усі кути прямі.
Коло і трапеція		коло можна описати тільки навколо рівнобічної трапеції і навпаки якщо трапеція вписана, то вона рівнобічна.
Коло і дельтоїд		Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Довільний вписаний 4-кутник		Площа довільного вписаного 4-кутника можно знайти по формулі Брахмагупти: де a, b, c, d – довжини сторін 4-кутника, а p – півпериметр, т.е.

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея. Добуток діагоналей вписанного 4-кутника дорівнює сумі добутків протилежних сторін.

Доказательство. Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность (рис.3).

Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема Птолемея

Рис.3

Докажем, что справедливо равенство:

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Рис.4

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE. Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E), угол ADB равен углуACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно,справедлива пропорция:

откуда вытекает равенство:

(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD. Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция: